मान लीजिए $\vec{\lambda} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ और $\vec{\lambda} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$ (जहाँ $x + y + z \neq 0$),तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ क्या है?

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं जो $4$ घन इकाई आयतन वाले समांतर षट्फलक के सह-आदिम किनारों को दर्शाते हैं,तो $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overline{a}$ और $\overline{c}$ इकाई सदिश हैं जो एक दूसरे के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाते हैं और $(\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})) \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 5$ है,तो $5[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $2a+3b-c, a-2b+3c, 3a+\lambda b-2c$ और $a-6b+6c$ समतलीय हैं, तो सदिश $\lambda \hat{i}-2\lambda \hat{j}+\hat{k}$ की दिक्कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{OP} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OQ} = \hat{i} + \frac{\beta-1}{\beta} \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{OR} = \hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ तीन सदिश हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R} - \{0\}$ और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है। यदि $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, 2)$ समतल $3x + 3y - z + l = 0$ पर स्थित है,तो $l$ का मान ज्ञात कीजिए।

अदिश $\overline{a} \cdot [(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c})]$ का मान है